Question

如图，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是

 

．

Answer 1

分析：根据圆心为O，则OA=OB=OC=OD=2，设腰长为x，设上底长是2b，利用勾股定理得出，则x²-（2-b）²=R²-b²=CP²，再利用二次函数最值求出即可．

解答：解：圆心为O，连接OD，OC，过O作OE⊥CD，过C作CP⊥OB，
∴E为DC的中点，DE=CE=

1

2

CD=b，
∵等腰梯形ABCD，
∴DC∥AB，OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴∠CEO=∠EOP=∠OPC=90°，
∴四边形EOPC为矩形，
∴EC=OP，

则OA=OB=OC=OD=2，设腰长为x，
设上底长是2b，过C作直径的垂线，垂足是P，
则CP²=OC²-OP²=CB²-PB²，
即x²-（2-b）²=2²-b²，
整理得b=2-

x2

4

，
所以y=4+2x+2b=4+2x+4-

x2

2

=-

x2

2

+2x+8，
∴该梯形周长的最大值是：

4ac-b 2

4a

=

-16-4

-2

=10．
故答案为：10．

点评：此题主要考查了二次函数的最值以及等腰梯形的性质和解直角三角形，根据题意得出x²-（2-b）²=R²-b²=CP² 从而利用二次函数最值求法求出是解决问题的关键．