Question

如图，AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，CF⊥AB，ED⊥AB，点E、F都在⊙O上，求证：
（1）CF=DE； 
（2）

AF

=

EF

=

BE

；
（3）AE=2CF．

Answer 1

分析：（1）连结OC、OE，根据半径相等得到OC=OD，OF=OE，则根据“HL”可判断Rt△OCF≌Rt△ODE，所以CF=DE；
（2）由于OC=

1

2

OF，则∠CFO=30°，易得到∠AOF=∠FOE=∠EOB=60°，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到

AF

=

EF

=

BE

；
（3）由OE=OA得∠A=∠OEA，根据三角形外角性质有∠DOE=∠A+∠OEA=60°，则∠A=30°，所以AE=2DE，于是得到AE=2CF．

解答：证明：（1）连结OC、OE，如图，
∵AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，
∴OC=OD，
而OF=OE，
∴Rt△OCF≌Rt△ODE，
∴CF=DE；

（2）在Rt△OC中，OC=

1

2

OF，
∴∠CFO=30°，
∴∠COF=60°，
∴∠DOF=60°，
∴∠EOF=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOF=∠FOE=∠EOD，
∴

AF

=

EF

=

BE

；

（3）∵OE=OA，
∴∠A=∠OEA，
∵∠DOE=∠A+∠OEA=60°，
∴∠A=30°，
∴AE=2DE，
∴AE=2CF．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系．