Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．
（1）如图①，过点A在△ABC外作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．
①判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系，并证明；
②若AM=a，BM=b，AB=c，试利用图①验证勾股定理a²+b²=c²；
（2）如图②，过点A在△ABC内作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系？（直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）①利用已知得出∠MAB=∠ACN，进而得出△MAB≌△NCA，进而得出BM=AN，AM=CN，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系；
②利用S_梯形MBCN=S_△MAB+S_△ABC+S_△NCA=

1

2

ab+

1

2

c²+

1

2

ab，S_梯形MBCN=

1

2

（BM+CN）×MN=

1

2

（a+b）²，进而得出答案；
（2）利用已知得出∠MAB=∠ACN，进而得出△MAB≌△NCA，进而得出BM=AN，AM=CN，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系．

解答：解：（1）①MN=BM+CN；
理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，
∴∠MAB=∠ACN，
在△MAB和△NCA中

∠BMA=∠ANC ∠MAB=∠NCA AB=AC

，
∴△MAB≌△NCA（AAS），
∴BM=AN，AM=CN，
∴MN=AM+AN=BM+CN；
②由①知△MAB≌△NCA，
∴CN=AM=a，AN=BM=b，AC=BC=c，
∴MN=a+b，
∵S_梯形MBCN=S_△MAB+S_△ABC+S_△NCA=

1

2

ab+

1

2

c²+

1

2

ab，
S_梯形MBCN=

1

2

（BM+CN）×MN=

1

2

（a+b）²，
∴

1

2

ab+

1

2

c²+

1

2

ab=

1

2

（a+b）²，
∴a²+b²=c²；

（2）MN=BM-CN；
理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，
∴∠MAB=∠ACN，
在△MAB和△NCA中

∠BMA=∠ANC ∠MAB=∠NCA AB=AC

，
∴△MAB≌△NCA（AAS），
∴BM=AN，AM=CN，
∴MN=AN-AM=BM-CN．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的证明等知识，根据已知得出△MAB≌△NCA是解题关键．