Question

在Rt⊿POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与⊿POQ的两直角边分别交于点A、B，
(1)求证：MA=MB
(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，⊿AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不          
存在。请说明理由。
       

Answer 1

（1）证明：连接OM ∵ Rt⊿POQ中，OP="OQ" =4,M是PQ的中点

∴OM=PM=PQ=2
∠POM=∠BOM=∠P=450 
∵∠PMA+∠AMO=
∠OMB+∠AMO
∴∠PMA=∠OMB  ⊿PMA≌⊿OMB
∴ MA=MB
(2)解：⊿AOB的周长存在最小值
理由是: ⊿PMA≌⊿OMB ∴ PA=OB  ∴OA+OB=OA+PA=OP=4
令OA=x  AB=y则y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16
=2(x-2)2+8≥8
当x=2时y2有最小值=8从而 y≥2
故⊿AOB的周长存在最小值，其最小值是4+2

解析