Question

（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；
（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．

Answer 1

分析：（1）利用相似三角形△ABP∽△MQB，求出y关于x的函数解析式；注意求x的取值范围时，需考虑计算x最大值与最小值的情形；
（2）如答图1所示，利用相外切两圆的性质，求出PQ的长；利用垂直平分线的性质PQ=BQ，列方程求出x的值；
（3）如答图2所示，关键是证明△CEQ∽△ABP，据此列方程求出x的值．

解答：解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP²=AP²+AB²=x²+25．
∵MQ是线段BP的垂直平分线，
∴BQ=PQ，BM=

1

2

BP，∠BMQ=90°，
∴∠MBQ+∠BQM=90°，
∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，
又∵∠A=∠BMQ=90°，
∴△ABP∽△MQB，
∴

BP

BQ

=

AP

BM

，即

BP

y

=

x

1 2 BP

，化简得：y=

1

2x

BP²=

1

2x

（x²+25）．
当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ²=QD²+PD²，即13²=5²+（13-x）²，解得x=1；
又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．
∴y=

1

2x

（x²+25）（1≤x≤13）．

（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：

设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC-BQ）=x+（13-y）=13+x-y；
∵PQ=BQ，
∴13+x-y=y，即2y-x-13=0
将y=

1

2x

（x²+25）代入上式得：

1

x

（x²+25）-x-13=0，
解此分式方程得：x=

25

13

，
经检验，x=

25

13

是原方程的解且符合题意．
∴x=

25

13

．

（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．

∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．
∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，
而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．
又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，
∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，
∴△CEQ∽△ABP，
∴

CQ

AP

=

EC

AB

，即

13-y

x

=

4

5

，化简得：4x+5y=65，
将y=

1

2x

（x²+25）代入上式得：4x+

5

2x

（x²+25）=65，
解此分式方程得：x=

65±10 26

13

，
经检验，x=

65±10 26

13

是原方程的解且符合题意，
∴x=

65±10 26

13

．

点评：本题是中考压轴题，难度较大．试题的难点在于：其一，所考查的知识点众多，包括相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、圆的位置关系、角平分线的性质、垂直平分线的性质、解分式方程与一元二次方程等，对数学能力要求很高；其二，试题计算量较大，需要仔细认真计算，避免出错．