题目内容
如图，在?ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，O，M分别是GH，GD与EF，的交点，N是BE与GH的交点，OM=ON．求证：?ABCD是菱形．
证明：∵GH∥AD，BC∥AD，
∴GH∥AD，△EON∽△EFB，
，
但EF=AB，FB=OG，∴
，ON•AB=EO•OG．①
同理，△GOM∽△GHD，
，
但HD=OE，GH=BC，∴
，OM•BC=EO•OG．②
由①，②得ON•AB=OM•BC．
又∵OM=ON，∴AB=BC，?ABCD是菱形．
分析：易证，△EON∽△EFB，得，可得ON•AB=EO•OG．同理，△GOM∽△GHD，，可得OM•BC=EO•OG．即可求得AB=BC，即可判定四边形ABCD是菱形．
点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了菱形的判定，考查了三角形相似的性质，本题中求证AB=BC是解题的关键．
∴GH∥AD，△EON∽△EFB，
，但EF=AB，FB=OG，∴
，ON•AB=EO•OG．①同理，△GOM∽△GHD，
，但HD=OE，GH=BC，∴
，OM•BC=EO•OG．②由①，②得ON•AB=OM•BC．
又∵OM=ON，∴AB=BC，?ABCD是菱形．
分析：易证，△EON∽△EFB，得
，可得ON•AB=EO•OG．同理，△GOM∽△GHD，，可得OM•BC=EO•OG．即可求得AB=BC，即可判定四边形ABCD是菱形．点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了菱形的判定，考查了三角形相似的性质，本题中求证AB=BC是解题的关键．
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