Question

已知抛物线y=ax²+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；

（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：

二次函数综合题．.

专题：

压轴题．

分析：

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点．为求D点坐标，需先求出直线AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D点坐标；

（3）本问关键是求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标．

解答：

解：（1）∵抛物线y=ax²+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），

∴，解得a=﹣1，c=3，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x²+2x+3．

（2）对称轴为x==1，

令y=﹣x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=﹣1，∴C（﹣1，0）．

如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．

设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：

，解得k=﹣1，b=3，

∴直线AB解析式为y=﹣x+3．

当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）．

（3）结论：存在．

如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，

过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA﹣ON=3﹣x．

S_△ABP=S_梯形PNOB+S_△PNA﹣S_△AOB

=（OB+PN）•ON+PN•AN﹣OA•OB

=（3+y）•x+y•（3﹣x）﹣×3×3

=（x+y）﹣，

∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x²+2x+3，代入上式得：

S_△ABP=（x+y）﹣=﹣（x²﹣3x）=﹣（x﹣）²+，

∴当x=时，S_△ABP取得最大值．

当x=时，y=﹣x²+2x+3=，∴P（，）．

所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；P点的坐标为（，）．