题目内容
已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
【答案】分析：（1）如答图1所示，证明QEMG为平行四边形，则运动路程QG=EM=10，t值可求；
（2）△APQ是等腰三角形，分为三种情形，需要分类讨论，避免漏解．如答图2、答图3、答图4所示；
（3）整个运动过程分为四个阶段，每个阶段重叠图形的形状各不相同，如答图5-答图8所示，分别求出其面积的表达式．
解答：解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=8，∴MN=10．
由题意，易知点G的运动线路平行于BC．
如答图1所示，过点G作BC的平行线，分别交AE、AF于点Q、R．
∵∠AED=∠EGM=90°，∴AE∥GM．
∴四边形QEMG为平行四边形，
∴QG=EM=10．
∴t=
=10秒．
（2）存在符合条件的点P．
在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．
设∠AEB=θ，则sinθ=
，cosθ=
．
∵NE=t，∴QE=NE•cosθ=
t，AQ=AE-QE=20-
t．
△APQ是等腰三角形，有三种可能的情形：
①AP=PQ．如答图2所示：
过点P作PK⊥AE于点K，则AK=AP•cosθ=
t．
∵AQ=2AK，∴20-
t=2×
t，
解得：t=
；
②AP=AQ．如答图3所示：
有t=20-
t，
解得：t=
；
③AQ=PQ．如答图4所示：
过点Q作QK⊥AP于点K，则AK=AQ•cosθ=（20-
t）×
=16-
t．
∵AP=2AK，∴t=2（16-
t），
解得：t=
．
综上所述，当t=
，
或
秒时，存在点P，使△APQ是等腰三角形．
（3）如答图1所示，点N到达点F的时间为t=7；
由（1）知，点G到达点Q的时间为t=10；
QE=10×
=8，AQ=20-8=12，
∵GR∥BC，∴
，即
，∴QR=
．
∴点G到达点R的时间为t=10+
=
；
点E到达终点B的时间为t=16．
则在△GMN运动的过程中：
①当0≤t＜7时，如答图5所示：
QE=NE•cosθ=
t，QN=NE•sinθ=
t，
S=
QE•QN=
•
t•
t=
t2；
②当7≤t＜10时，如答图6所示：
设QN与AF交于点I，
∵tan∠INF=
=
，tan∠IFN=
=
，
∴∠INF=∠IFN，△INF为等腰三角形．
底边NF上的高h=
NF•tan∠INF=
×（t-7）×
=
（t-7）．
S△INF=
NF•h=
×（t-7）×
（t-7）=
（t-7）2，
∴S=S△QNE-S△INF=
t2-
（t-7）2=
t2+
t-
；
③当10≤t＜
时，如答图7所示：
由②得：S△INF=
（t-7）2，
∴S=S△GMN-S△INF=24-
（t-7）2=-
t2+
t+
；
④当
＜t≤16时，如答图8所示：
FM=FE-ME=FE-（NE-MN）=17-t．
设GM与AF交于点I，过点I作IK⊥MN于点K．
∵tan∠IFK=
=
，∴可设IK=4x，FK=3x，则FM=3x+17-t．
∵tan∠IMF=
=
=
，解得：x=
（17-t）．
∴IK=4x=
（17-t）．
∴S=
FM•IK=
（t-17）2．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=
点评：本题是运动型综合题，难度较大，解题关键是清楚理解图形的运动过程．计算过程较为复杂，需要仔细认真；第（2）（3）问中，注意均需要分情况讨论，分别计算，避免漏解．
（2）△APQ是等腰三角形，分为三种情形，需要分类讨论，避免漏解．如答图2、答图3、答图4所示；
（3）整个运动过程分为四个阶段，每个阶段重叠图形的形状各不相同，如答图5-答图8所示，分别求出其面积的表达式．
解答：解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=8，∴MN=10．
由题意，易知点G的运动线路平行于BC．
如答图1所示，过点G作BC的平行线，分别交AE、AF于点Q、R．
∵∠AED=∠EGM=90°，∴AE∥GM．
∴四边形QEMG为平行四边形，
∴QG=EM=10．
∴t=
=10秒．（2）存在符合条件的点P．
在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．
设∠AEB=θ，则sinθ=
，cosθ=
．∵NE=t，∴QE=NE•cosθ=
t，AQ=AE-QE=20-
t．△APQ是等腰三角形，有三种可能的情形：
①AP=PQ．如答图2所示：
过点P作PK⊥AE于点K，则AK=AP•cosθ=
t．∵AQ=2AK，∴20-
t=2×
t，解得：t=
；②AP=AQ．如答图3所示：
有t=20-
t，解得：t=
；③AQ=PQ．如答图4所示：
过点Q作QK⊥AP于点K，则AK=AQ•cosθ=（20-
t）×
=16-
t．∵AP=2AK，∴t=2（16-
t），解得：t=
．综上所述，当t=
，
或
秒时，存在点P，使△APQ是等腰三角形．（3）如答图1所示，点N到达点F的时间为t=7；
由（1）知，点G到达点Q的时间为t=10；
QE=10×
=8，AQ=20-8=12，∵GR∥BC，∴
，即
，∴QR=
．∴点G到达点R的时间为t=10+
=
；点E到达终点B的时间为t=16．
则在△GMN运动的过程中：
①当0≤t＜7时，如答图5所示：
QE=NE•cosθ=
t，QN=NE•sinθ=
t，S=
QE•QN=
•
t•
t=
t2；
②当7≤t＜10时，如答图6所示：
设QN与AF交于点I，
∵tan∠INF=
=
，tan∠IFN=
=
，∴∠INF=∠IFN，△INF为等腰三角形．
底边NF上的高h=
NF•tan∠INF=
×（t-7）×
=
（t-7）．S△INF=
NF•h=
×（t-7）×
（t-7）=
（t-7）2，∴S=S△QNE-S△INF=
t2-
（t-7）2=
t2+
t-
；③当10≤t＜
时，如答图7所示：由②得：S△INF=
（t-7）2，∴S=S△GMN-S△INF=24-
（t-7）2=-
t2+
t+
；
④当
＜t≤16时，如答图8所示：FM=FE-ME=FE-（NE-MN）=17-t．
设GM与AF交于点I，过点I作IK⊥MN于点K．
∵tan∠IFK=
=
，∴可设IK=4x，FK=3x，则FM=3x+17-t．∵tan∠IMF=
=
=
，解得：x=
（17-t）．∴IK=4x=
（17-t）．∴S=
FM•IK=
（t-17）2．综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=
点评：本题是运动型综合题，难度较大，解题关键是清楚理解图形的运动过程．计算过程较为复杂，需要仔细认真；第（2）（3）问中，注意均需要分情况讨论，分别计算，避免漏解．
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