Question

如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，FE交线段DC于点Q，FE的延长线交线段BC于点P，连结AP、AQ．
（1）求证：△ADQ≌△AEQ；
（2）求证：PQ=DQ+PB；
（3）当∠1=∠2时，求PQ的长．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴∠G=∠AEF=90°，AD=AE，
∵在Rt△ADQ和Rt△AEQ中
，
∴△ADQ≌△AEQ（HL）；

（2）证明：与证△ADQ≌△AEQ类似，可证得：△AEP≌△ABP，
∴PB=PE，QD=QE，
∴PQ=QE+PE=DQ+PB；

（3）解：当∠1=∠2时，
∵∠D=∠C=90°，
∴Rt△ADQ∽Rt△PCQ，
∴∠AQD=∠PQC，
∵△ADQ≌△AEQ
∴∠AQD=∠AQE，
∴∠AQD=∠PQC=∠AQE，且∠AQD+∠AQE+∠PQC=180°，
∴∠AQD=60°，
∴∠1=30°
∴Rt△ADQ中，AD=3，DQ=，
∴QC=3-，
∵∠C=90°，∠PQC=60°，
∴∠2=30°，
∴PQ=2QC=6-2．
分析：（1）根据正方形性质得出∠G=∠AEF=90°，AD=AE，根据HL证出粮三角形全等即可；
（2）根据全等求出DQ=QE，同理BP=PE，即可得出答案；
（3）求出Rt△ADQ∽Rt△PCQ，推出∠AQD=∠PQC=∠AQP，求出三角为60°，求出∠1和∠2度数，求出QD、CQ，即可求出答案．
点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，难度偏大．