Question

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝Rt∠，AC＝BC＝2，

(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．

(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s₁；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s₂(如图2)，则s₂＝________；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s₃，继续操作下去……，则第10次剪取时，s₁₀＝________；

(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法1：如图甲，由题意，得AE＝DE＝EC，即EC＝1， 　　如图乙，设MN＝x，则由题意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x， 　　∴，解得 　　∴ 　　又∵ 　　∴甲种剪法所得的正方形面积更大． 　　说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点， 　　解法2：如图甲，由题意得AE＝DE＝EC，即EC＝1 　　如图乙，设MN＝x，则由题意得AM＝MQ＝QP＝PN＝NB＝MN＝x， 　　∴，解得 　　又∵，即 　　∴甲种剪法所得的正方形面积更大． 　　(2)　 　　(3)解法1：探索规律可知： 　　剩余三角形面积和为 　　 　　 　　解法2：由题意可知， 　　第一次剪取后剩余三角形面积和为 　　第二次剪取后剩余三角形面积和为 　　第三次剪取后剩余三角形面积和为 　　…… 　　第十次剪取后剩余三角形面积和为