Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点P从点A出发沿AB向点B移动，（点P与点A、B不重合），作PD∥BC交AC于点D，在DC上取点E，以DE、DP为邻边作平行四边形PFED，使点F到PD的距离FH=

1

6

PD，连接BF，设AP=x．
（1）△ABC的面积等于

 

；
（2）设△PBF的面积为y，求y与x的函数关系，并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，易得△ABC的高，再由三角形面积公式可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得PD、PM的值，进而可得AN的值，再由图示可得：y=S_梯形PBCD-S_?PFED-S_梯形PFCE；代入数据可得答案．

解答：解：（1）根据题意，作AQ⊥BC，交BC于点Q，
易得：BQ=3，由勾股定理，易得AQ=4；
则S_△ABC=

1

2

×6×4=12；

（2）设AQ与PD交于点M，与EF交于点N；
PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴

AP

PD

=

AB

CB

，
且AP=x，AB=5，BC=6，
可得：PD=

6

5

x，PM=

3

5

x；
易得AM=

4

5

x，则AN=AM+MN=AM+HF=x，
∴y=S_梯形PBCD-S_?PFED-S_梯形BFEC
=

1

2

（

6

5

x+6）（4-

4

5

x）-

6

5

x•

1

5

x-

1

2

（

6

5

x+6）（4-x）=-

3

25

x²+

3

5

x=-

3

25

（x-

5

2

）²+

3

4

；
故当x=

5

2

时，y取得最大值，最大值为

3

4

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数综合运用以及矩形的性质等知识点．