题目内容

如图，设P为等边△ABC内一点，且PA=4，PB=5，PC=3．则△ABC的边长为________．

$\text{[math]}$
分析：首先将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，易证得△PCQ是等边三角形，△APQ是直角三角形，则可求得∠APC的度数，然后可求得∠APD的度数，在Rt△APD中，即可求得AD与CD的长，继而求得AC．
解答：

解：将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，
∴AQ=PB=5，CQ=PC，∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴PQ=PC=3，∠QPC=60°，
在△PAQ中，∵PA=4，AQ=5，PQ=3，
∴AQ²=PA²+PQ²，
∴∠APQ=90°，
∴∠APC=∠APQ+∠QPC=150°，
∴∠APD=30°，
在Rt△APD中，AD= $\text{[math]}$ PA=2，PD=AP•cos30°=2 $\text{[math]}$ ，
则CD=PC+PD=3+2 $\text{[math]}$ ，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=4+（3+2 $\text{[math]}$ ）²=25+12 $\text{[math]}$ ，则AC= $\text{[math]}$ ．
故答案是： $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．