题目内容

已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为 $数学公式$ （即cosC= $数学公式$ ），则AC边上的中线长是________．

$\text{[math]}$ a或 $\text{[math]}$ a
分析：分两种情况：①△ABC的内角∠ABD=45°；②△ABC的外角∠ABD=45°．这两种情况，都可以首先作△ABC的高AD，解直角△ACD与直角△ABD，得到BC的长，再利用余弦定理求解．
解答：

解：分两种情况：
①如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC= $\text{[math]}$ ，
∴CD= $\text{[math]}$ a，AD= $\text{[math]}$ a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD= $\text{[math]}$ a，
∴BC=BD+CD= $\text{[math]}$ a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC
= $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ a²-2× $\text{[math]}$ a× $\text{[math]}$ a× $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ a²，
∴BE= $\text{[math]}$ a；

②如图2．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC= $\text{[math]}$ ，
∴CD= $\text{[math]}$ a，AD= $\text{[math]}$ a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD= $\text{[math]}$ a，
∴BC=CD-BD= $\text{[math]}$ a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC
= $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ a²-2× $\text{[math]}$ a× $\text{[math]}$ a× $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ a²，
∴BE= $\text{[math]}$ a．
综上可知AC边上的中线长是 $\text{[math]}$ a或 $\text{[math]}$ a．
故答案为 $\text{[math]}$ a或 $\text{[math]}$ a．
点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，余弦定理，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．