Question

已知正方形ABCD，绕A点顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，如图所示，如果正方形ABCD边长为1，则四边形的ABED′周长是

2

2

．

Answer 1

分析：作D′H⊥AB于H，EP⊥D′H于P，根据旋转的性质得到AD′=AD=AB=1，∠DAD′=45°，则∠D′AH=45°，可判断△AHD′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AH=D′H=

2

2

AD′=

2

2

，∠AD′H=45°，于是可计算出BH=PE=1-

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2

，∠ED′P=45°，也得到△PED′为等腰直角三角形，则DE′=

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PE=

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（1-

2

2

）=

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-1，D′P=PE=1-

2

2

，再计算出BE=PH=D′H-D′P=

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2

-（1-

2

2

）=

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-1，然后利用周长公式计算四边形的ABED′周长．

解答：解：作D′H⊥AB于H，EP⊥D′H于P，如图，
∵正方形ABCD，绕A点顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，
∴AD′=AD=AB=1，∠DAD′=45°，
∴∠D′AH=45°，
∴△AHD′为等腰直角三角形，
∴AH=D′H=

2

2

AD′=

2

2

，∠AD′H=45°，
∴BH=PE=1-

2

2

，∠ED′P=45°，
∴△PED′为等腰直角三角形，
∴DE′=

2

PE=

2

（1-

2

2

）=

2

-1，D′P=PE=1-

2

2

，
∴BE=PH=D′H-D′P=

2

2

-（1-

2

2

）=

2

-1，
∴四边形的ABED′周长=AD′+AB+BE+ED′=1+1+

2

-1+

2

-1=2

2

．
故答案为2

2

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质．