Question

如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线．
（1）如果BD=CE，那么△ABC是等腰三角形，请说明理由；
（2）如果∠A=60°，取BC中点F，连结点D、E、F得到△DEF，请判断该三角形的形状，并说明理由；
（3）如果点G是ED的中点，求证：FG⊥DE．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，BD=CE，利用HL可判定Rt△BCD≌Rt△CBE，则可得∠BCD=∠CBE，继而证得AB=AC；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可判定EF=DF，又由∠A=60°，可求得∠EFD=60°，即可判定△DEF是等边三角形；
（3）由等腰三角形的三线合一，可证得FG⊥DE．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，

BD=CE BC=CB

，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠BCD=∠CBE，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：△DEF是等边三角形．理由如下：
∵在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
∵F是BC的中点，
∴EF=DF=BF=CF，
∴∠BEF=∠ABC，∠CDF=∠ACB，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BFE+∠CFD=360°-2（∠ABC+∠ACB）=120°，
∴∠EFD=60°，
∴△DEF是等边三角形；

（3）证明：∵EF=DF，点G是ED的中点，
∴FG⊥DE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．