Question

【题目】如图，抛物线 经过点，与轴相交于，两点，

（1）抛物线的函数表达式；

（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；

（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）直线的函数表达式为或.

【解析】

（1）根据待定系数法确定函数关系式即可求解；

（2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，.

由翻折得，求出CH’的长，可得，求出DH的长，则可得D的坐标；

（3）由题意可知为等边三角形，分两种讨论①当点在轴上方时，点在轴上方，连接，，证出，可得垂直平分，点在直线上，可求出直线的函数表达式；②当点在轴下方时，点在轴下方，同理可求出另一条直线解析式.

（1）由题意，得

解得

抛物线的函数表达式为.

（2）抛物线与轴的交点为，

，抛物线的对称轴为直线.

设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，.

上翻折得.

在中，由勾股定理，得.’

点的坐标为，.

.

由翻折得.

在中，.

点的坐标为.

（3）取（2）中的点，，连接.

，.

为等边三角形，

分类讨论如下：

①当点在轴上方时，点在轴上方.

连接，

，为等边三角形，

，，.

，

.

,

点在抛物线的对称轴上，

，

，

又，

垂直平分.

由翻折可知垂直平分.

点在直线上，

设直线的函数表达式为，

则解得

直线的函数表达式为.

②当点在轴下方时，点在轴下方.

，为等边三角形，

，，.

.

.

.

，

.

.

设与轴相交于点.

在中，.

点的坐标为，

设直线的函数表达式为，

则解得

直线的函数表达式为.

综上所述，直线的函数表达式为或.