Question

如图1，已知直线y＝kx与抛物线y＝－x²＋交于点A(3，6)．

(1)求直线y＝kx的解析式和线段OA的长度；

(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M(点M、O不重合)，交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，说明理由；

(3)如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)把点A(3，6)代入y＝kx得6＝3k；∴k＝2；∴y＝2x．2分 　　OA＝；3分 　　(2)是一个定值，理由如下： 　　过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H． 　　①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合， 　　此时； 　　②当QH与QM不重合时，∵QN⊥QM，QG⊥QH 　　不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上 　　∴∠MQH＝∠GQN 　　又∵∠QHM＝∠QGN＝90°∴△QHM∽△QGN；5分 　　∴ 　　当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得＝2；7分 　　(3)延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R 　　∵∠AOD＝∠BAE；∴AF＝OF；∴OC＝AC＝OA＝ 　　∵∠ARO＝∠FCO＝90°；∠AOR＝∠FOC 　　∴△AOR∽△FOC；∴ 　　∴OF＝；∴点F(，0) 　　设点B(x，)， 　　过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF 　　∴即；解得x1＝6，x2＝3(舍去) 　　∴点B(6，2) 　　∴BK＝6－3＝3；AK＝6－2＝4 　　∴AB＝5；8分 　　(求AB也可采用下面的方法) 　　设直线AF为y＝kx＋b(k≠0)把点A(3，6)，点F(，0)代入得 　　k＝，b＝10 　　∴ 　　；∴(舍去) 　　∴B(6，2)∴AB＝5；8分 　　(其它方法求出AB的长酌情给分) 　　在△ABE与△OED中 　　∵∠BAE＝∠BED 　　∴∠ABE＋∠AEB＝∠DEO＋∠AEB 　　∴∠ABE＝∠DEO 　　∵∠BAE＝∠EOD 　　∴△ABE∽△OED；9分 　　设OE＝x，则AE＝－x() 　　由△ABE∽△OED得 　　∴∴()；10分 　　∴顶点为(，) 　　如图，当时，OE＝x＝，此时E点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个． 　　∴当时，E点只有1个；11分 　　当时，E点有2个；12分