题目内容
如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CFG=∠B，过点C作CE∥AB，交∠CAB的平分线AD于
点E．（1）不添加字母，找出图中所有相似的三角形，并证明；
（2）证明：
| FC |
| CG |
| AD |
| ED |
分析：（1）由于CE∥AB，利用平行线分线段成比例定理的推论易得△ABD∽△ECD，而CE∥AB，∠CAB=90°，利用平行线的性质易得∠ACE=∠CAB=90°，结合∠CFG=∠B，易证△BAC∽△FCG；
（2）由于AD是∠BAC的平分线，那么∠CAD=∠BAD，而CE∥AB，∠CED=∠BAD，易得∠CAD=∠CED，从而有AC=CE，根据
△BAC∽△FCG可得
=
，即
=
，而由△ABD∽△ECD易得
=
，从而有
=
．
（2）由于AD是∠BAC的平分线，那么∠CAD=∠BAD，而CE∥AB，∠CED=∠BAD，易得∠CAD=∠CED，从而有AC=CE，根据
△BAC∽△FCG可得
| AB |
| AC |
| FC |
| CG |
| AB |
| EC |
| FC |
| CG |
| AB |
| EC |
| AD |
| ED |
| FC |
| CG |
| AD |
| ED |
解答：解：（1）△ABD∽△ECD，△BAC∽△FCG．
∵CE∥AB，
∴△ABD∽△ECD，
∵CE∥AB，∠CAB=90°，
∴∠ACE=∠CAB=90°，
又∠CFG=∠B，
∴△BAC∽△FCG；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵CE∥AB，∠CED=∠BAD
∴∠CAD=∠CED，
∴AC=EC，
∵△BAC∽△FCG，
∴
=
，
∴
=
，
∵△ABD∽△ECD，
∴
=
，
∴
=
．
解：（1）△ABD∽△ECD，△BAC∽△FCG．∵CE∥AB，
∴△ABD∽△ECD，
∵CE∥AB，∠CAB=90°，
∴∠ACE=∠CAB=90°，
又∠CFG=∠B，
∴△BAC∽△FCG；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵CE∥AB，∠CED=∠BAD
∴∠CAD=∠CED，
∴AC=EC，
∵△BAC∽△FCG，
∴
| AB |
| AC |
| FC |
| CG |
∴
| AB |
| EC |
| FC |
| CG |
∵△ABD∽△ECD，
∴
| AB |
| EC |
| AD |
| ED |
∴
| FC |
| CG |
| AD |
| ED |
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质．解题的关键是证明△ABD∽△ECD，△BAC∽△FCG．
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