题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．（1）当x=
（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点E运动路线的长；
（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．
分析：（1）求出∠A=∠B=45°，因为AD=3，由勾股定理求出AE长；
（2）由∠ADE+∠AED=135°和∠BEF+∠AED=135°推出∠ADE=∠BEF，证出△ADE∽△BEF，得到
=
，代入即可；
（3）①如图，若EF=BF，由相似得到AE=DE=
，求出t；②如图，若EF=BE，由相似求出AE，即可求出t；③若BF=BE，则∠FEB=∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可求出t．
（2）由∠ADE+∠AED=135°和∠BEF+∠AED=135°推出∠ADE=∠BEF，证出△ADE∽△BEF，得到
| AD |
| BE |
| AE |
| BF |
（3）①如图，若EF=BF，由相似得到AE=DE=
| 3 |
| 2 |
| 2 |
解答：
解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∵AD=3，
由勾股定理得：AE=
，
故答案为：
．
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A=∠B=45°，
AB=4
，
∴∠ADE+∠AED=135°，
又∵∠DEF=45°，
∴∠BEF+∠AED=135°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF，
∴
=
，
∴
=
，
∴y=-
x2+
x，
∴y=-
x2+
x=-
（x-2
）2+
∴当x=2
时，y有最大值=
，
∵从运动的过程中可以得出点E运动的路程正好是2BF，
∴点E运动路程为2×
=
cm，
答：在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式是y=-
x2+
x，点E运动路线的长为
cm．
（3）这里有三种情况：
①如图，若EF=BF，则∠B=∠BEF，
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE=DE=
，
∵动点E的速度为1cm/s，
∴此时x=
；
②如图，若EF=BE，则∠B=∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠AED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AE=3
，
∵动点E的速度为1cm/s
∴此时x=3
；
③如图，若BF=BE，则∠FEB=∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=3，
∵动点E的速度为1cm/s，
∴此时x=3．
综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为
或3
或3．
答：x的值为
或3
或3．
解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∵AD=3，
由勾股定理得：AE=
| 3 |
| 2 |
| 2 |
故答案为：
| 3 |
| 2 |
| 2 |
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A=∠B=45°，
AB=4
| 2 |
∴∠ADE+∠AED=135°，
又∵∠DEF=45°，
∴∠BEF+∠AED=135°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF，
∴
| AD |
| BE |
| AE |
| BF |
∴
| 3 | ||
4
|
| x |
| y |
∴y=-
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
∴y=-
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 8 |
| 3 |
∴当x=2
| 2 |
| 8 |
| 3 |
∵从运动的过程中可以得出点E运动的路程正好是2BF，
∴点E运动路程为2×
| 8 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
答：在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式是y=-
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 16 |
| 3 |
（3）这里有三种情况：
①如图，若EF=BF，则∠B=∠BEF，
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE=DE=
| 3 |
| 2 |
| 2 |
∵动点E的速度为1cm/s，
∴此时x=
| 3 |
| 2 |
| 2 |
②如图，若EF=BE，则∠B=∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠AED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AE=3
| 2 |
∵动点E的速度为1cm/s
∴此时x=3
| 2 |
③如图，若BF=BE，则∠FEB=∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=3，
∵动点E的速度为1cm/s，
∴此时x=3．
综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
答：x的值为
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
点评：本题主要考查对二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．
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