Question

如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，点P、Q分别在AC、BC边上（点P不与A、C重合），且PQ∥AB．
（1）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
（2）试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据三角形周长的定义及已知条件△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等得到点P、Q分别是AC边、BC边的中点，证明△CPQ∽△CAB，再由相似三角形的对应边成比例即可求出CP的长；
（2）首先假设在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形，然后分三种情况进行讨论：①∠QPM=90°；②∠PQM=90°；③∠PMQ=90°．针对每一种情况，都可利用相似三角形的对应边成比例得到关系式，如果求出的PQ的长符合题意，则存在，否则不存在．

解答：解：（1）∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，
∴PC+CQ=PA+AB+QB=

1

2

（AB+BC+AC）=6，
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
∴

CP

CA

=

CQ

CB

，即

CP

4

=

6-CP

3

，
解得：CP=

24

7

；（4分）
（2）存在点M，使得△PMQ为等腰直角三角形．
①当∠QPM=90°，PM=PQ时（如图1）．
作CF⊥AB于F，交PQ于E．
∵PQ∥AB，∴CE⊥PQ，则EF=PM=PQ．
在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC²+BC²=4²+3²=25=5²=AB²，
∴△ACB为直角三角形，∠C=90°，
∴CF•AB=AC•BC，则CF=

4×3

5

=

12

5

．（6分）
由（1）知△CPQ∽△CAB，
∴

PQ

AB

=

CE

CF

，即

PQ

5

=

CF-EF

CF

，

PQ

5

=

12 5 -PQ

12 5

解得PQ=

60

37

；（8分）
②当∠PQM=90°，PQ=QM，同理可求得PQ=

60

37

；（10分）
③当∠PMQ=90°，PM=QM时（如图2）．
作CF⊥AB于F，交PQ于E，作MH⊥PQ于H．则EF=MH=

1

2

PQ．
∴

PQ

5

=

12 5 - 1 2 PQ

12 5

，
解得PQ=

120

49

．
综上，可知PQ的长为

60

37

或

120

49

．（13分）

点评：本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，综合性较强，难度中等．要注意的是（2）中，要根据直角顶点的不同位置进行分类求解．