Question

(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，

分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，

OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针

旋转角得到△E₁OF₁(如图2)．

(1)探究AE₁与BF₁的数量关系，并给予证明；

(2)当＝30°时，求证：△AOE₁为直角三角形．

 

Answer 1

解：(1)AE₁＝BF₁，证明如下：

              ∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD，∴OE＝OF 

              ∵△E₁OF₁是△EOF绕点O逆时针旋转角得到，∴OE₁＝OF₁。

               ∵ ∠AOB＝∠EOF＝90⁰， ∴∠E₁OA＝90⁰－∠F₁OA＝∠F₁OB

                                      OE₁＝OF₁

              在△E₁OA和△F₁OB中，  ∠E₁OA＝∠F₁OB，∴△E₁OA≌△F₁OB（SAS）

                                      OA＝OB                      

              ∴ AE₁＝BF₁。

           (2)取OE₁中点G，连接AG。

          ∵∠AOD＝90⁰，＝30° ， ∴ ∠E₁OA＝90⁰－＝60°。

          ∵OE₁＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E₁OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°。

          ∴ AG＝GE₁，∴∠GAE₁＝∠GE₁A＝30°。∴ ∠E₁AO＝90°。

       ∴△AOE₁为直角三角形。

解析:略