Question

【题目】如图，在中，点、分别是、的中点，平分，交于点，交于点.

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求四边形的周长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）8.

【解析】

（1）由三角形中位线定理可得BC＝2DE，DE∥BC，且FG∥AB，可证四边形BDFG是平行四边形，由角平分线的性质和平行线的性质可得DF＝DB，即可得四边形BDFG是菱形；

（2）由菱形的性质可得DF＝BG＝GF＝BD，由BC＝2DE，可求BG的长，即可求四边形BDFG的周长．

证明：（1）∵点D、E分别是AB、AC的中点，

∴BC＝2DE，DE∥BC，且FG∥AB，

∴四边形BDFG是平行四边形，

∵BF平分∠ABC，

∴∠DBF＝∠GBF，

∵DE∥BC，

∴∠GBF＝∠DFB，

∴∠DFB＝∠DBF，

∴DF＝DB，

∴四边形BDFG是菱形；

（2）∵四边形BDFG是菱形；

∴DF＝BG＝GF＝BD

∵BC＝2DE

∴BG＋4＝2（BG＋1）

∴BG＝2，

∴四边形BDFG的周长＝4×2＝8