Question

【题目】如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，AD∥BC∥x轴，AB∥DC∥y轴，x轴与y轴夹角为90°，点M，N分别在xy轴上，点A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8）．

（1）连接线段OB、OD、BD，求△OBD的面积；

（2）若长方形ABCD在第一象限内以每秒0.5个单位长度的速度向下平移，经过多少秒时，△OBD的面积与长方形ABCD的面积相等请直接写出答案；

（3）见备用图，连接 OB，OD，OD交BC于点E，∠BON的平分线和∠BEO的平分线交于点F．

①当∠BEO的度数为n，∠BON的度数为m时，求∠OFE的度数．

②请直接写出∠OFE和∠BOE之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）17；（2）；（3）①∠EFO＝m+n+90°；②2∠EFO+∠BOE＝270°．

【解析】

（1）延长DA交y轴于H，如图1所示，则AH⊥y轴，然后利用S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB代入数据计算即可；

（2）由S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB＝S长方形ABCD＝12即可列出关于t的方程，解方程即得结果；

（3）①延长CB交y轴于点P，延长EF交y轴于点G，如图2，根据角平分线的定义和三角形的外角性质解答即可；

②根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠EFO＝90°+(∠NOB+∠BEO)，根据直角三角形的性质可得∠BON+∠BEO=90°－∠BOE，进一步即可得出结论．

解：（1）延长DA交y轴于H，如图1所示：

则AH⊥y轴．

∵A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8）

∴OH＝8，DH＝7，AH＝1，AD＝6，AB＝2，

∴S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB

＝×OH×DH﹣×AB×AD﹣×（AB+OH）×AH

＝×8×7﹣×2×6﹣×（2+8）×1＝17；

（2）∵S长方形ABCD＝2×6＝12，

∴S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB＝12，

∴×（8﹣0.5t）×7﹣×2×6﹣×（2+8﹣0.5t）×1＝12，

解得：t＝；

（3）①延长CB交y轴于点P，延长EF交y轴于点G，如图2，

∵EF平分∠BEO，OF平分∠NOB，

∴∠GOF＝∠NOB＝m，∠BEF＝∠BEO＝n，

∵∠EFO＝∠GOF+∠FGO，∠FGO＝∠GPE+∠BEF，

∴∠EFO＝∠GOF+∠GPE+∠BEF＝m+n+90°；

②∵EF平分∠BEO，OF平分∠NOB，

∴∠GOF＝∠NOB，∠BEF＝∠BEO，

∵∠EFO＝∠GOF+∠FGO，∠FGO＝∠GPE+∠BEF，

∴∠EFO＝∠GOF+∠GPE+∠BEF＝90°+∠NOB+∠BEO＝90°+(∠NOB+∠BEO)，

∵∠BOE＝90°﹣∠BON﹣∠BEO，

∴∠BON+∠BEO=90°－∠BOE，

∴∠EFO＝90°+(90°－∠BOE)，

即2∠EFO+∠BOE＝270°．