Question

如图，海上有一灯塔P，在它周围4千米内有暗礁，一艘轮船以每小时9千米的速度由东向西行驶，行至A处测得灯塔P在它的北偏西75?，继续行驶一小时到达B处，又测得灯塔P在它的北偏西60?，试问：若客轮不改变航向，是否有触礁的危险？（供考生参考的数据：tan15°≈0.2679，cot15°≈3.732，

3

≈1.732）

Answer 1

分析：要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点P的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险．

解答：解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知：
AB=9×1=9，∠PAB=90°-75°=15°，∠PBC=90°-60°=30°．
设PC=x，在Rt△PCB中，PB=2PC=2x，BC=

3

PC=

3

x，
∴AC=AB+BC=9+

3

x．
在Rt△PCA中，∵∠PCA=90°，
∴

PC

AC

=tan15°，

x

9+ 3 x

=0.2679，
解得：x≈4.4983＞4，
答：若客轮不改变航向，有触礁的危险．

点评：此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．