Question

（2011•通州区二模）已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为

5

，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标．

Answer 1

分析：（1）连接AC，由于BC与⊙A相切，则AC⊥BC，在Rt△ABC中，OC⊥AB，根据射影定理即可求得OC的长，从而得到C点的坐标，进而用待定系数法求出直线BC的解析式．
（2）可设出G点的坐标（设横坐标，利用直线BC的解析式表示纵坐标），连接AP、AG；由于GC、GP都是⊙A的切线，那么∠AGC=∠ABP=60°，在Rt△AGC中，AC的长易求得，根据∠AGC的度数，即可求得AG的长；过G作GH⊥x轴于H，在Rt△GAH中，可根据G点的坐标表示出AH、GH的长，进而由勾股定理求得G点的坐标．

解答：解：（1）如图1所示，连接AC，则AC=

5

．
在Rt△AOC中，AC=

5

，OA=1，则OC=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设切线BC的解析式为y=kx+b，
它过点C（0，2），B（-4，0），
则有

b=2 -4k+b=0

，
解之得

k= 1 2 b=2

，
∴y=

1

2

x+2；

（2）如图1所示，设点G的坐标为（a，c），
∵点G在直线y=

1

2

x+2上，
∴c=

1

2

a+2，
过点G作GH⊥x轴，垂足为H点，则OH=a，GH=c=

1

2

a+2，连接AP，AG．
∵AC=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG （HL），
∴∠AGC=

1

2

×120°=60°．
在Rt△ACG中，
∵∠AGC=60°，AC=

5

，
∴sin60°=

AC

AG

，
∴AG=

2 15

3

．
在Rt△AGH中，AH=OH-OA=a-1，GH=

1

2

a+2，
∵AH²+GH²=AG²，
∴（a-1）²+(

1

2

a+2)2=(

2 15

3

)2，
解之得：a₁=

2 3

3

，a₂=-

2 3

3

（舍去），
点G的坐标为（

2 3

3

，

3

3

+2 ）．

点评：此题考查的知识点有：一次函数解析式的确定、勾股定理、切线的性质、切线长定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质等，本题难度较大．