Question

10．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²-$\frac{7}{3}x+c$的图象经过点、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延长AC交x轴于点D．
（1）求这个二次函数的解析式及的m值；
（2）求∠ADO的余切值；
（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标代入函数解析式求得系数a、c的值，从而得到函数解析式，然后把点C的坐标代入来求m的值；
（2）由点A、C的坐标求得直线AC的解析式，然后根据直线与坐标轴的交点的求法得到点D的坐标，所以结合锐角三角函数的定义解答即可；
（3）根据相似三角形的对应角相等进行解答．

解答 解：（1）把A（0，8）、B（6，2）代入y=ax²-$\frac{7}{3}x+c$，得
$\left\{\begin{array}{l}{8=c}\\{2=a×{6}^{2}-\frac{7}{3}×6+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{9}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
故该二次函数解析式为：y=$\frac{2}{9}$x²-$\frac{7}{3}$x+8．
把C（9，m），代入y=$\frac{2}{9}$x²-$\frac{7}{3}$x+8得到：m=y=$\frac{2}{9}$×9²-$\frac{7}{3}$×9+8=5，即m=5．
综上所述，该二次函数解析式为y=$\frac{2}{9}$x²-$\frac{7}{3}$x+8，m的值是5；

（2）由（1）知，点C的坐标为：（9，5），
又由点A的坐标为（0，8），
所以直线AC的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+8，
令y=0，则0=-$\frac{1}{3}$x+8，
解得x=24，
即OD=24，
所以cot∠ADO=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{24}{8}$=3，即cot∠ADO=3；

（3）在△APQ与△MDQ中，∠AQP=∠MQD．
要使△APQ与△MDQ相似，则∠APQ=∠MDQ或∠APQ=∠DMQ（根据题意，这种情况不可能），
∴cot∠APQ=cot∠MDQ=3．
作BH⊥y轴于点H，
在直角△PBH中，cot∠P=$\frac{PH}{BH}$=3，
∴PH=18，OP=20，
∴点P的坐标是（0，20）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数、一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．