Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC.

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若AC=8，tanB =，求AD的长.

 

Answer 1

 

（1）证明略

（2）

解析:（1）证明：∵OD⊥AC于点E，

             ∴∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．

             ∵ ∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，

             ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．

               ∴ OA⊥AD于点A．………………………1分

             ∵ OA是⊙O的半径，

        ∴ AD是⊙O的切线． ……………………2分

   （2）解：∵ OD⊥AC于点E，AC是⊙O的弦，AC=8，

          ∴ ．………………………………………………………3分

            ∵ ∠B=∠C，tanB =，

          ∴ 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC =．

          ∴ ．

            设⊙O的半径为r，则．

            在Rt△OAE中，由勾股定理得 ，即 ．

            解得 r =5．……………………………………………………………………4分

          ∴ 在Rt△OAE中，．

            ∴ 在Rt△OAD中，． ………………………5分