题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与
轴交于
、
两点，与
轴交于点
，连接
、
．
（1）点
是直线下方抛物线上一点，当
面积最大时，
为轴上一动点，
为轴上一动点，记
的最小值为
，请求出此时点的坐标及；
（2）在（1）的条件下，连接
交轴于点
，将抛物线沿射线
平移，平移后的抛物线记为
，当经过点时，将抛物线位于轴下方部分沿轴翻折，翻折后所得的曲线记为，点
为曲线的顶点，将
沿直线平移，得到
，在平面内是否存在点
，使以点
、、
、为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，
；（2）当
或
时，存在点
，使以点
、
、
、为顶点的四边形为菱形．
【解析】
（1）如图1中，设
，作PF∥y轴交BC于点F．构建二次函数求出点P坐标，如图2中，在y轴的正半轴上取一点G，连接BG，使得∠GBO=30°，作点P关于y轴的对称点H，作HF⊥BG交y轴于M，交x轴于N．由FN=
BN，推出PM+MN+BN=HM+MN+NF，根据垂线段最短可知，此时PM+MN+BN的值最短，求出H，F的坐标即可解决问题．
（2）想办法求出R，D′的坐标，分两种情形分别构建方程解决问题即可．
（1）如图1中，设，作
轴交
于点
．
图1
由题意
，
，
，
直线的解析式为
，
，
，
，
，
时，
的面积最大，此时
，
如图2中，在
轴的正半轴上取一点
，连接
，使得
，作点
关于轴的对称点
，作
交轴于
，交
轴于
．
图2
，
，根据垂线段最短可知，此时
的值最短．
直线的解析式为，
，
，
直线
的解析式为
，
由
，解得
，
，
．
（2）如图3中，
图3
由题意直线
的解析式为
，
，
，
直线
的解析式为
，设
，
原抛物线的顶点坐标为
，平移后抛物线经过点
，此时顶点
，翻折后的顶点
，
，
由题意可知当
时，存在点，使以点
、、
、为顶点的四边形为菱形，
，
解得，
当点在线段
的垂直平分线上时，存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，则有：
，
．
综上所述，当或时，存在点，使以点
、、
、为顶点的四边形为菱形．
