题目内容

阅读并解答问题．
如图，已知：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD．
证明：延长AD至E使得DE=AD，连接EC，则AE=2AD
∵AD为△ABC的中线
∴BD=CD
在△ABD和△CED中

( )

( )

( )

，
∴△ABD≌△CED
∴AB=EC
在△ACE中，根据三角形的三边关系有
AC+EC

AE
而AB=EC，AE=2AD
∴AB+AC＞2AD
这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”，请利用这种方法解决以下问题：
（1）如图，已知：CD为Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，求证：CD=

1

2

AB；
（2）把（1）中的结论用简洁的语言描述出来．

分析：（1）延长CD至E使DE=CD，连接EB，AE．先证△ADC≌△BDE，得AC=BE，四边形ACBE是平行四边形，进而得出平行四边形ACBE是矩形，得AB=CE=2CD；
（2）根据证明的结论得出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

解答：

解：（1）证明：延长CD至E使DE=CD，连接EB，AE．
∵CD为Rt△ABC的中线，
∴AD=CD，
∵CD=DE，∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB，
∴∠ACD=∠DEB，AC=BE，
∴AC∥BE，
∴四边形ACBE是平行四边形，
又∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴AB=CE，CD=DE=AD=BD，
∴CD=

1

2

AB；

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质等知识，根据已知得出AB=CE利用矩形性质得出是解决问题的关键．

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27、阅读材料并解答问题：

如图①，将6个小长方形（或正方形）既无空隙，又不重叠地拼成一个大的长方形，根据图示尺寸，它的面积既可以表示为（2a+b）（a+b），又可以表示为2a²+3ab+b²，因此，我们可以得到一个等式：（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²．
（1）请写出图②所表示的等式：

（a+2b）（2a+b）=2a²+5ab+2b²

．
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a²+4ab+3b²（请仿照图①或图②在几何图形上标出有关数量）．

（2012•朝阳区一模）阅读下面材料：
问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．

小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．
（1）请你回答：图中BD的长为

；
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．

阅读并解答问题．
如图，已知：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD．
证明：延长AD至E使得DE=AD，连接EC，则AE=2AD
∵AD为△ABC的中线
∴BD=CD
在△ABD和△CED中
$数学公式$ ，
∴△ABD≌△CED
∴AB=EC
在△ACE中，根据三角形的三边关系有
AC+EC______AE
而AB=EC，AE=2AD
∴AB+AC＞2AD
这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”，请利用这种方法解决以下问题：
（1）如图，已知：CD为Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，求证：CD= $数学公式$ ；
（2）把（1）中的结论用简洁的语言描述出来．

阅读并解答问题．
如图，已知：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD。
证明：延长AD至E使得DE=AD，连接EC，则AE=2AD
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD
在△ABD和△CED中

，
∴△ABD≌△CED，
∴AB=EC，
在△ACE中，根据三角形的三边关系有AC+EC ____AE
而AB=EC，AE=2AD
∴AB+AC＞2AD
这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”，
请利用这种方法解决以下问题：
（1）如图，已知：CD为Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，
求证：CD=

；
（2）把（1）中的结论用简洁的语言描述出来。