题目内容

如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点E是AB的中点，且AD+BC=DC、下列结论中：①△ADE∽△BEC；②DE²=DA•DC；③若设AD=a，CD=b，BC=c，则关于x的方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若设AD=a，AB=b，BC=c，则关于x的方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有个．

A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个

D
分析：过E作梯形两底的平行线EF，交CD于F；由梯形的中位线定理知AD+BC=2EF，故DC=2EF，由于F是CD的中点，即可证得△DEC是直角三角形，然后根据得到这个条件对四个结论逐一判断．
解答：

解：过E作EF∥AD∥BC；
∵E是AB的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，即AD+BC=2EF，F是CD的中点；
又∵AD+BC=CD，
∴CD=2EF，又F是CD的中点，
易得△DEC是直角三角形，即∠DEC=90°；由于AD∥EF，且F是Rt△EDC斜边CD的中点（即FE=FD），
∴∠ADE=∠FED=∠FDE，
过E作EG⊥CD，
∵∠A=∠EGD=90°，∠ADE=∠GDE，DE=DE，
∴△ADE≌△DEG，同理可证△BEC≌△GEC；
①∵∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，又∠ADE+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，故①正确；
②在Rt△DEC中，EG⊥CD，由射影定理得：DE²=DG•DC，
由于AD=DG，所以DE²=DA•DC，故②正确；
③若AD=a，CD=b，BC=c，则由：
a+c=b，即c=b-a；
∴关于x的方程ax²+bx+c=0根的判别式为：
△=b²-4ac=b²-4a（b-a）=b²-4ab+4a²=（b-2a）²；
由于EF≠AD，即CD≠2AD，b≠2a，
∴△=（b-2a）²＞0，
即方程有两个不相等的实数根，故③正确；
④在Rt△EDC中，EG=AE= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ b，DG=AD=a，CG=BC=c；
由射影定理得：EG²=DG•CG，即（ $\text{[math]}$ b）²=ac，即b²=4ac，b²-4ac=0；
所以关于x的方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根．故④正确；
因此正确的结论有4个，
故选D．
点评：此题考查的知识点有：直角梯形的性质、相似三角形的判定和性质、梯形中位线定理以及根的判别式等知识，解此题的关键有两步：①证明△DEC是直角三角形，②通过辅助线构造出全等三角形．