题目内容
如图1，已知△ABC与△DCE都是等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，点D在AC上，直线BD交AE于点F．
（1）请补充完整证明“BD=AE，BF⊥AE”的推理过程；
证明：在△ACE与△BCD中
∵（
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等）
∵∠ACE=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°（
∴∠CBD+∠AEC=90°（等量代换）
∴
∴BF⊥AE（垂直的定义）
（2）将△DCE绕着点C旋转，在旋转过程中保持△DCE的大小与形状均不变，那么，当△DCE旋转至图2的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？
（1）请补充完整证明“BD=AE，BF⊥AE”的推理过程；
证明：在△ACE与△BCD中
∵（
AC=BC，∠DCB=∠ECA，DC=EC
AC=BC，∠DCB=∠ECA，DC=EC
）∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等）
∵∠ACE=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°（
直角三角形的两锐角互余
直角三角形的两锐角互余
）∴∠CBD+∠AEC=90°（等量代换）
∴
∠BFE=90°
∠BFE=90°
∴BF⊥AE（垂直的定义）
（2）将△DCE绕着点C旋转，在旋转过程中保持△DCE的大小与形状均不变，那么，当△DCE旋转至图2的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？
分析：（1）根据SAS证△ACE≌△BCD，推出BD=AE，∠CAE=∠CBD，根据∠ACE=90°求出∠CAE+∠AEC=90°，推出∠BFE=90°，根据垂直定义推出即可；
（2）求出∠ACE=∠BCD，其余证明过程和（1）类似．
（2）求出∠ACE=∠BCD，其余证明过程和（1）类似．
解答：（1）证明：∵在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，
∵∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°（直角三角形的两锐角互余），
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥AE，
故答案为：AC=BC，∠DCB=∠ECA，CE=CD，直角三角形的两锐角互余，∠BFE=90°．
（2）解：（1）中的结论还成立，
理由是：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，
∵∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠AHC=90°，
∵∠AHC=∠BHF，∠HBF=∠CAH，
∴∠BHF+∠HBF=90°
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥AE．
|
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，
∵∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°（直角三角形的两锐角互余），
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥AE，
故答案为：AC=BC，∠DCB=∠ECA，CE=CD，直角三角形的两锐角互余，∠BFE=90°．
（2）解：（1）中的结论还成立，
理由是：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中
|
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，
∵∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠AHC=90°，
∵∠AHC=∠BHF，∠HBF=∠CAH，
∴∠BHF+∠HBF=90°
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥AE．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
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