Question

如图，已知O是平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x、y轴分别交于点A、C，点A的坐标为（-

3

，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．
（1）求OC的长和∠CAO的度数；
（2）求点D的坐标；
（3）求点A，O，D三点的抛物线的解析式；
（4）在（3）中，点P是抛物线上的一点，试确定点P的位置，使得△AOP的面积与△AOC的面积相等．

Answer 1

分析：（1）根据圆B的半径可以求出AC的长，由点A的坐标可以求出OA的长，在Rt△AOC中由勾股定理可以求出OC的长，利用解直角三角形的特殊角的三角函数值就可以求出∠CAO的度数．
（2）连接OB，过点D作DE⊥AO于E，利用（1）的结论可以求出∠DOE=60°，∠ODE=30°，由勾股定理可以求出OE、DE的长从而求得点D的坐标．
（3）设抛物线的解析式为两根式的形式，运用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（4）当存在点P时，根据底相等面积相等的两三角形高相等就可以求出点P的纵坐标，代入抛物线的解析式就可以求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵∠COA=90°，
∴AC为直径．
∵⊙B的半径为1，
∴AC=2
∵A（-

3

，0）
∴OA=

3

∴cos∠CAO=

3

2

∴∠CAO=30°
∴OC=

1

2

AC
∴OC=1

（2）连接OB，作DE⊥AO于E，
∴∠DEO=90°
∵DO是⊙B的切线
∴DO⊥BO
∴∠BOD=90°
∵AB=BO
∴∠CAO=∠AOB=30°
∴∠OBD=60°
∴∠BDO=30°
∴BD=2BO=2
在Rt△BOD中由勾股定理，得
DO=

3

∵∠DOE=∠OAD+∠ADO=60°
∴∠ODE=30°
∴OE=

1

2

OD=

3

2

，在Rt△ODE中，由勾股定理，得
DE=

3

2

∴D（

3

2

，

3

2

）

（3）∵OC=1
∴C（0，1）
设抛物线的解析式为y=a（x+

3

）（x-0），由题意，得

3

2

=a（

3

2

+

3

）

3

2

，解得
a=

2

3

∴y=

2

3

（x+

3

）x
y=

2

3

x²+

2 3

3

x

（4）设存在点P，使△AOP的面积与△AOC的面积相等，做PF⊥OA于F
∴这两个三角形OA边上的高也相等，即PF=OC=1
∴当y=1时，
1=

2

3

x²+

2 3

3

x
解得：x₁=

- 3 +3

2

，x₂=

- 3 -3

2

∴P（

- 3 +3

2

，1）或（

- 3 -3

2

，1）

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了勾股定理、特殊角的三角函数值、圆的切线的性质、直角三角形的性质、待定系数法求函数的解析式以及函数图象上点的存在问题．