Question

如图，矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，EC=2cm，AD上有一点P，PA=6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是cm．

1. A.
   4
2. B.
   4.5
3. C.
   4
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：首先过点Q作QH⊥CD于H，连接EQ，由矩形ABCD与PF⊥AD，易证得四边形PQHD是矩形，即可求得DH=PQ，DH=PD，又由折叠的性质，可得QE=PQ，然后设PQ=xcm，在Rt△EQH中，利用勾股定理即可得方程，解此方程即可求得答案．
解答：解：过点Q作QH⊥CD于H，连接EQ，
∴∠DHQ=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，CD=AB=5cm，
∴DE=CD-EC=5-2=3（cm），
∵PF⊥AD，
∴∠FPD=90°，
∴四边形PQHD是矩形，
∴QH=PD=AB-PA=10-6=4（cm），DH=PQ，
∵将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于Q，
∴PQ=EQ，
设PQ=xcm，则QE=DH=xcm，
∴EH=DH-DE=x-3（cm），
在Rt△EQH中，QE²=QH²+EH²，
即x²=4²+（x-3）²，
解得：x=4．
∴PQ=4cm．
故选D．
点评：此题考查了折叠性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．