题目内容

如图，已知函数y= $数学公式$ ，点P为第一象限分支上一动点，以P为圆心1为半径画圆，当⊙P和x轴相切时，抛物线y=ax²+bx（a＞0，b＜0）与y= $数学公式$ 的图象交于点P，与x轴交于A点．根据所给条件，解答下列问题：
（1）关于x的方程ax²+bx- $数学公式$ =0的解为________；
（2）如果抛物线y=ax²+bx的对称轴为x=1，求抛物线的解析式以及A点坐标；
（3）直接回答a的值能否为 $数学公式$ ．

解：（1）∵⊙P和x轴相切时，⊙P的半径为1，
∴点P的纵坐标为1，
当y=1时， $\text{[math]}$ =1，
解得x=3，
所以，点P的坐标是（3，1），
所以，方程的解是x=3；

（2）由（1）可知，点P（3，1），
又∵抛物线y=ax²+bx的对称轴为x=1，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$
所以，抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x，
令 $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x=0，
解得x₁=0，x₂=2，
所以，点A（2，0）；

（3）∵点P（3，1）在抛物线上，
∴9a+3b=1，
a= $\text{[math]}$ ，
∵b＜0，
∴-b＞0，
∴1-3b＞1，
∴a＞ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴a的值不能为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据⊙P和x轴相切可知点P的纵坐标是1，代入抛物线解析式求出x的值，即可得到点P的坐标，然后根据方程的解即为点P的横坐标解答；
（2）根据对称轴解析式与点A的坐标得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到抛物线解析式，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A的坐标；
（3）把点P的坐标代入抛物线，然后用b表示出a，再根据b＜0判断出a的取值范围，即可进行判断．
点评：本题是二次函数综合题型，主要涉及直线与圆相切，利用图象的交点求方程的解，待定系数法求二次函数解析式，以及抛物线与x轴的交点问题，都是基本应用，难度不大．