Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，BD的垂直平分线分别与AB，BC交于点E，F，在线段BC上取一点G，使CG=CD．
（1）若不增加其他的点，以图中的点为顶点构造四边形．
能构成菱形的四个顶点是______或______；
能构成等腰梯形的四个顶点是______或______．
（2）请你选择（1）中的一个四边形加以证明．

Answer 1

解：（1）构成菱形的四个顶点是B，E，D，F或E，D，C，G；
构成等腰梯形的四个顶点是B，E，D，C或E，D，G，F；
故答案为：B，E，D，F；E，D，C，G；B，E，D，C；E，D，G，F；

（2）①∵EF垂直平分BD，
∴EF⊥BD，BE=DE，BF=DF，
∴∠3=∠4=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
在△BET和△BFT中，
，
∴△BET≌△BFT，
∴BE=BF，
∴BE=BF=DE=DF，
∴四边形BEDF是菱形；

②∵菱形BEDF，
∴ED∥BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴四边形EDCB是菱形；

③∵等腰梯形EDCB，
∴BE=CD，
∵ED=BE，CD=CG，
∴ED=CG，
∵ED∥BC，
∴四边形EDCG是平行四边形，
∵CD=CG，
∴四边形EDCG是菱形；

④∵菱形BEDF，EDCG，
∴BE=BF，CD=CG，
∵BE=CD，
∴BF=CG，
∵∠ABC=∠ACB，
∴△BEF≌△CDG，
∴EF=DG，
∵ED∥BC，
∴四边形EDGF是等腰梯形．
分析：（1）根据题意，结合已知，容易得出构成菱形的四个顶点和构成等腰梯形的四个顶点；
（2）以四边形BEDF是菱形为例，根据线段垂直平分线和角平分线的性质，可证得△BET≌△BFT，即可得出四边形BEDF是菱形．
点评：本题主要考查了等腰梯形和菱形的性质，全等三角形的判定与性质，本题综合性较强，熟练掌握其性质，是正确解答的关键．