Question

如图，抛物线y=

3

9

x²+ax+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），顶点为D，
（1）求该抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）点E（x，0）是线段OB上的动点，过点E作EP∥BD，交OD于点P，连接DE．△PED的面积为S，求S与x的函数关系式，并求当x为何值时，S最大；
（3）在抛物线是否存在一点Q，使以点B、D、E、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的Q点的坐标和此时x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；再把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标；
（2）根据点B、D的坐标求出OD、BD的长度，再利用勾股定理逆定理求出∠ODB=90°，然后判断出△OPE和△ODB相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出OP、PE，再求出PD，再根据∠EPD=90°，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与x的函数关系式，最后根据二次函数的最值问题解答即可；
（3）分①BD为平行四边形的对角线，D、Q重合，不合题意，②ED为平行四边形的对角线，D、Q重合，不合题意，③BE为平行四边形的对角线，作DF⊥x轴于F，作QG⊥x轴于G，可以判定△DFE和△QGB全等，根据全等三角形对应边相等可得QG=DF=

3

，然后代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，从而得到点Q的坐标，再求出EF的长，然后根据x=OF+EF，代入数据进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线y=

3

9

x²+ax+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），
∴

3 9 ×(-2)2-2a+c=0 3 9 ×42+4a+c=0

，
解得

a=- 2 3 9 c=- 8 3 9

，
所以抛物线的解析式为y=

3

9

x²-

2 3

9

x-

8 3

9

；
∵y=

3

9

x²-

2 3

9

x-

8 3

9

=

3

9

（x-1）²-

3

，
∴顶点D的坐标（1，-

3

）；

（2）∵B（4，0），D（1，-

3

），
∴OB=4，OD=

12+ 3 2

=2，BD=

3 2+(4-1)2

=2

3

，
∴OD²+BD²=OB²=16，
∴∠ODB=90°，
∵EP∥BD，
∴△OPE∽△ODB，
∴

OE

OB

=

OP

OD

=

PE

BD

，
即

x

4

=

OP

2

=

PE

2 3

，
解得OP=

1

2

x，PE=

3

2

x，
∴PD=OD-OP=2-

1

2

x，
又∵EP∥BD，
∴∠EPD=180°-∠ODB=180°-90°=90°，
S=

1

2

×（2-

1

2

x）×

3

2

x=-

3

8

x²+

3

2

x，
即S=-

3

8

x²+

3

2

x，
∵S=-

3

8

x²+

3

2

x=-

3

8

（x-2）²+

3

2

，
∴当x为2时，S最大；

（3）以点B、D、E、Q为顶点的四边形为平行四边形分三种情况，
①BD为平行四边形的对角线，BE∥DQ，即DQ∥x轴，
所以，直线DQ与抛物线只有一个交点D，Q与D重合，不合题意；
②ED为平行四边形的对角线，BE∥DQ，即DQ∥x轴，
所以，直线DQ与抛物线只有一个交点D，Q与D重合，不合题意；
③BE为平行四边形的对角线，如图，作DF⊥x轴于F，作QG⊥x轴于G，
∵四边形DBQE为平行四边形，
∴DE∥BQ，DE=QB，
∴∠BED=∠EBQ，
∴∠DEF=∠QBG，
∵在△DFE和△QGB中，

∠DEF=∠QBG ∠EFD=∠BGQ DE=QB

，
∴△DFE≌△QGB（AAS），
∴QG=DF=

3

，
当y=

3

时，

3

9

x²-

2 3

9

x-

8 3

9

=

3

，
整理得，x²-2x-17=0，
解得x₁=1+3

2

，x₂=1-3

2

（是负数，舍去），
∴点Q（1+3

2

，

3

），
∴EF=BG=1+3

2

-4=3

2

-3，
x=OE=OF+EF=1+（3

2

-3）=3

2

-2，
∴存在Q（1+3

2

，

3

），使以点B、D、E、Q为顶点的四边形为平行四边形，此时x=3

2

-2．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，主要考查了二次函数的顶点坐标的求解，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，以及平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，（3）要分情况讨论．