Question

已知关于x的一元二次方程（6-k）（9-k）x²-（117-15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．

Answer 1

解：原方程可化为：[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0．
因为此方程是关于x的一元二次方程，
所以，k≠6，k≠9，
于是有：x₁=①，x₂=②．
由①得k=，由②得k=，
∴=，
整理得x₁x₂-2x₁+3x₂=0，
有（x₁+3）（x₂-2）=-6．
∵x₁、x₂均为整数，
∴．
故x₁=-9，-6，-5，-4，-2，-1，0，3．
又k==6-，
将x₁=-9，-6，-5，-4，-2，-1，3分别代入，得
k=7，，，，，15，3．
分析：首先对方程（6-k）（9-k）x²-（117-15k）x+54=0因式分解可得[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0，于是有x₁=，x₂=．消去k后，有（x₁+3）（x₂-2）=-6，列出所有x₁、x₂对应的整数，即可求得对应的k的值．
点评：正确利用因式分解法求得方程的解，得到方程的两个解之间的关系（x₁+3）（x₂-2）=-6，根据x₁、x₂均为整数，确定x的取值是解决本题的关键．