Question

如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，作AC的垂直平分线，分别交于AC于G，交CD于H，连接AH．求证：
（1）AB=AH；
（2）CD=AB+BD．

Answer 1

分析：（1）由HG为AC的垂直平分线，可得HA=HC，又由等腰三角形的性质，可得∠C=∠CAH，则可得∠AHB=2∠C，又由在△ABC中，∠B=2∠C，易证得∠AHB=∠B，则可得AH=BH；
（2）由等腰三角形三线合一的性质，易得HD=BD，继而可得CD=AB+BD．

解答：证明：（1）∵HG为AC的垂直平分线，
∴HA=HC，
∴∠C=∠CAH，
∴∠AHB=∠C+∠CAH=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AHB=∠B，
∴AB=AH；

（2）∵AD⊥HB，AH=AB，
∴HD=DB，
∵AH=HC，AH=AB，
∴AB=CH，
∴CD=CH+HD=AB+DB．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．