Question

如图⊙O₁、⊙O₂点外切于点A，外公切线BC与⊙O₁切于点B，与⊙O₂切于点C，与O₂O₁的延长线交于点P，已知∠P=30度．
（1）求⊙O₁与⊙O₂半径的比；
（2）若⊙O₁半径为2m，求弧AB、弧AC及外公切线BC所围成的图形（阴影部分）的面积．

Answer 1

分析：（1）求⊙O₁与⊙O₂半径的比，就要让两半径建立联系，连接O₁B，O₂C，可在Rt△PBO₁，Rt△PCO₂中利用直角三角形中的边与边的关系求出半径的比．题中∠P=30°，可知O₁B=2r，O₂C=2R，由此可知3r=R，即可得出两圆的半径比．
（2）求出弧所对的圆心角，利用弧长公式计算即可．阴影部分的面积=梯形的面积-两个扇形的面积．

解答：解：（1）连接O₁B，O₂C，
∠P=30°，
∴PO₁=2r，PO₂=2R，
∴2R=2r+r+R
R=3r
∴3r=R，
∴r：R=1：3；

（2）∠P=30°，
∴∠AO₁B=120°，
∴弧AB=

120π×2

180

=

4π

3

，弧AC=

60π×6

180

=2π；
利用勾股定理可知：BP=

16-4

=2

3

，PC=

144-36

=6

3

，∴BC=4

3

；
S_阴影=S_梯形O1O2CB-S_扇形O1AB-S_扇形O2AC=（2+6）×4

3

÷2-

4π

3

-6π=16

3

-

22π

3

．

点评：本题综合考查了解直角三角形和弧长公式及扇形的面积公式等知识点．