Question

一个数能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数字之和，则所有满足上述条件的四位数为

 

．

Answer 1

分析：首先设四位数

.

abcd

=1000a+100b+10c+d，根据题意可得1000a+100b+10c+d=111（a+b+c+d），又由

a×103+b×102+c×10+d

111

=9a+b+

a-11b+10c+d

111

与-98≤a-11b+10c+d≤108求得a的取值可能为1或2，然后分别分析，即可求得答案．

解答：解：设四位数

.

abcd

=1000a+100b+10c+d，
∵这个数能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数字之和，
则1000a+100b+10c+d=111（a+b+c+d），
∵

a×103+b×102+c×10+d

111

=9a+b+

a-11b+10c+d

111

，
∴111|（a-11b+10c+d），
由-98≤a-11b+10c+d≤108，
∴a-11b+10c+d=0，即11b=a+10c+d，100a+100b+10c+d=111（9a+b），
由已知得：9a+b=a+b+c+d，
∴8a=c+d≤18，
∴a=1或2，
若a=1，c+d=8，a+10c+d=9+9c=11b，满足上式的一位整数b，c不存在；
若a=2，c+d=16，a+10c+d=18+9c=11b，可得：b=9，
∴c=9，d=7．
∴所求的四位数为2997．

点评：此题考查了整数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是根据题意分析求得a-11b+10c+d=0与9a+b=a+b+c+d，注意分类讨论思想的应用．