Question

如图，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.

(1)求a的值及直线AC的函数关系式；

(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.

①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

.解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-2

∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）

设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b

6=-2k+b解得 k=-2

b=2

∴直线AC为y=-2x+2

（2）①设P的横坐标为a(-2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）

∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92

=-2a+122+92

∴当a=-12时，PM的最大值为92

②M1（0，6）

M2-14，678