Question

如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB=

3

，BC=3，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）连接AC，与BD相交于点O，根据矩形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明；
（2）利用勾股定理求出BD长，再求出△ABE和△ABD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BE的长度，从而得到DE、AE的长，然后求出EF的长，在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可求出CE．

解答：（1）证明：如图，连接AC，与BD相交于点O，
在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，

∠ABE=∠CDF AB=CD ∠AEB=∠CFD=90°

，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；

（2）解：∵AB=

3

，BC=3，
∴BD=

AB2+BC2

=

3 2+32

=2

3

，
∵∠ABE=∠DBA，∠AEB=∠DAB=90°，
∴△ABE∽△ABD，
∴

AB

BD

=

BE

AB

=

AE

AD

，
即

3

2 3

=

BE

3

=

AE

3

，
解得，BE=

3

2

，AE=

3

2

，
∴EF=BD-2BE=2

3

-

3

2

×2=

3

，
CF=AE=

3

2

，
在Rt△CEF中，CE=

EF2+CF2

=

3 2+( 3 2 )2

=

21

2

．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，综合题题，但难度不大，作出辅助线是解题的关键．