Question

我们知道：将一条线段AB分割成大小两条线段AC、CB，若小线段CB与大线段AC的长度之比等于大线段AC与线段AB的长度之比，即这种分割称为黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．

(1)类似地我们可以定义，顶角为36°的等腰三角形叫黄金三角形，其底与腰之比为黄金数，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，请你说明D为腰AB的黄金分割点的理由．

(2)若腰和上底相等，对角线和下底相等的等腰梯形叫作黄金梯形，其对角线的交点为对角线的黄金分割点．如图，AD∥BC，AB＝AD＝DC，AC＝BD＝BC，试说明O为AC的黄金分割点．

(3)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a、b、c．若D是AB的黄金分割点，那么a、b、c之间的数量关系是什么？并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：在△ABC中，∵∠A＝36°，AB＝AC 　　∴∠ACB＝(180°－∠A)＝72° 　　∵CD为∠ACB的角平分线，∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠DCB． 　　又∵∠ABC＝∠CBD 　　∴△ABC∽△CBD 　　∴． 　　∵∠ABC＝∠ACB＝72° 　　∴∠BDC＝∠ABC＝72°∴BC＝CD同理可证，AD＝CD 　　∴BC＝DC＝AD，∴ 　　∴D为腰AB的黄金分割点． 　　(2)证明：在△ABC和△DCB中，∵AB＝DC，AD∥BC，∴∠ABC＝∠DCB．又∵BC＝BC，∴△ABC≌△DCB． 　　∴∠ACB＝∠DBC＝α 　　∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠BDA＝α 　　∵AB＝AD∴∠ABD＝∠BDA＝α 　　∴∠ABC＝2α．∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB＝2α 　　在△ABC中，∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180° 　　∴5α＝180°∴α＝36°在等腰△ABC中 　　∵BO为∠ABC的角平分线，∠ACB＝α＝36°∴O为腰AC的黄金分割点， 　　即 　　(3)a、b、c之间的数量关系是b2＝ac． 　　∵∠ACB＝90°，CD⊥AB 　　∴∠ACB＝∠ADC＝90° 　　∵∠A＝∠A∴△ACB∽△ADC∴即AC2＝AD·AB 　　∴b2＝AD·c同理可证，a2＝BD·c∴AD＝ 　　①BD＝ 　　②又∵D为AB的黄金分割点，∴AD2＝BD·c 　　③把①、②代入③得b4＝a2c2∵a、c均为正数，∴b2＝ac　∴a、b、c之间的数量关系为b2＝ac．