Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP＝，∠A＝30°.

(1)求劣弧的长；

(2)若∠ABD＝120°，BD＝1.求证：CD是⊙O的切线.

Answer 1

 (1)解：延长OP交AC于E，

　

∵P是△OAC的重心，OP＝，

∴OE＝1，                                                           (1分)

且E是AC的中点.

∵OA＝OC，∴OE⊥AC.

在Rt△OAE中，∵∠A＝30°，OE＝1，

∴OA＝2.                                                             (2分)

∴∠AOE＝60°.

∴∠AOC＝120°.                                                       (3分)

∴＝π.                                                          (4分)

(2)证明：连接BC.

∵E，O分别是线段AC，AB的中点，

∴BC∥OE，且BC＝2OE＝2＝OB＝OC.

∴△OBC是等边三角形.                                                (5分)

法1：∴∠OBC＝60°.

∵∠OBD＝120°，∴∠CBD＝60°＝∠AOE.                                 (6分)

∵BD＝1＝OE，BC＝OA，

∴△OAE≌△BCD.                                                     (7分)

∴∠BCD＝30°.

∵∠OCB＝60°，

∴∠OCD＝90°.                                                       (8分)

∴CD是⊙O的切线.                                                   (9分)

法2：过B作BF∥DC交CO于F.

∵∠BOC＝60°，∠ABD＝120°，

∴OC∥BD.                                                           (6分)

∴四边形BDCF是平行四边形.                                          (7分)

∴CF＝BD＝1.

∵OC＝2，　 ∴F是OC的中点.

∴BF⊥OC.                                                           (8分)

∴CD⊥OC.

∴CD是⊙O的切线.                                                    (9分)