Question

【题目】如图，已知中，，，，、分别是、上的动点，，与关于直线对称，若是直角三角形，则的长为___．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分三种情况：①当∠PAD＝90，由平行四边形的性质得出CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，证明△ABP∽△CBA，得出，求出BP＝，由轴对称的性质即可得出结果；

②∠APD＝90，当点P与C重合时，得出该情况不成立；

③当点P与C不重合时，∠APD＝90，作AG⊥BC于G，则EF与AG重合，根据三角形面积及勾股定理求出BF＝．

分三种情况：

①当∠PAD＝90，如图1所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，

∴∠APB＝∠PAD＝90°，

∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90，

∴AC＝＝4，

∵∠B＝∠B，

∴△ABP∽△CBA，

∴，即，

解得：BP＝，

∵EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，

∴BF＝PF＝BP＝；

②当∠APD＝90时，点P与C重合时，如图2所示：

∵AB∥CD，

∴∠APD＝∠ACD＝∠BAC＝90，

∵E在AB上，E和A重合，而AB≠AC，

则△BEF与△PEF关于直线EF不对称，

∴该情况不存在；

③当点P与C不重合时，∠APD＝90，如图3所示：

作AG⊥BC于G，则EF与AG重合，

∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90，

∴AC＝＝4，

∴AF=

∴BF＝=；

综上所述，若△APD是直角三角形，则BF的长为 或；

故答案为：或．