Question

如图，已知抛物线y_＝a₍x_－1₎²＋₍a≠0₎经过点A_(－2，0₎，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）①若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

②若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

Answer 1

解：（1）把A_(－2，0₎代入y_＝a₍x_－1₎²＋，得0＝a_(－2_－1₎²＋．

∴a_＝－···························· 1分

∴该抛物线的解析式为y_＝－(x_－1₎²＋

即y_＝－x ²_＋x_＋．···················· 3分

（2）设点D的坐标为₍x_D，y_D)，由于D为抛物线的顶点

∴x_D＝－＝1，y_D＝－×1 ²_＋×1_＋＝．

∴点D的坐标为₍1，₎．

如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．

∴∠DAO＝60°·························· 4分

∵OM∥AD

①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．

∴OP＝6

∴t＝6（s）··················· 5分

②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．

过点O作OE⊥AD轴于E．

在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．

（注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）

∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6_－1＝5．

∴t＝5（s）··························· 6分

③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD_－2AE＝6_－2＝4．

∴t＝4（s）

综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．

·························· 7分

（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．

又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．

∵BQ＝2t，∴OQ＝6_－2t（0＜t＜3）

过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝t．··············· 8分

∴S_{四边形BCPQ ＝}S_{△COB －}S_△POQ

_＝×6×－×(6_－2t)×t

_＝(t_－)²_＋·················· 9分

∴当t_＝（s）时，S_{四边形BCPQ}的最小值为．··········· 10分

此时OQ＝6_－2t＝6_－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3_－＝，PF＝．

∴PQ＝＝＝············ 11分