Question

【题目】阅读以下内容并回答问题：

如图1，在平面直角坐标系xOy中，有一个△OEF，要求在△OEF内作一个内接正方形ABCD，使正方形A，B两个顶点在△OEF的OE边上，另两个顶点C，D分别在EF和OF两条边上．

小丽感到要使四边形的四个顶点同时满足上述条件有些困难，但可以先让四边形的三个顶点满足条件，于是她先画了一个有三个顶点在三角形边上的正方形（如图2）．接着她又在△OEF内画了一个这样的正方形（如图3）．她发现如果再多画一些这样的正方形，就能发现这些点C位置的排列图形，根据这个图形就能画出满足条件的正方形了．

（1）请你也实验一下，再多画几个这样的正方形，猜想小丽发现这些点C排列的图形是　 　；

（2）请你参考上述思路，继续解决问题：如果E，F两点的坐标分别为E（6，0），F（4，3）．

①当A1的坐标是（1，0）时，则C1的坐标是　 　；

②当A2的坐标是（2，0）时，则C2的坐标是　 　；

③结合（1）中猜想，求出正方形ABCD的顶点D的坐标，在图3中画出满足条件的正方形ABCD．

Answer 1

【答案】（1）一条线段；（2）①（，）；②（，）；D点坐标为（，2），③见解析.

【解析】

（1）通过画图，可直接得出结论；

（2）先确定出直线OF的解析式，

①将x＝1代入直线OF解析式求出y，即可得出结论；

②将x＝2代入直线OF解析式求出y，即可得出结论；

③先求出直线C1C2的表达式为y＝x和直线EF的表达式为y＝﹣+9，进而求出C点坐标为（，2），即可得出结论．

解：（1）通过画图，猜想小丽发现这些点C排列的图形是一条线段；

故答案为：一条线段；

（2）∵F（4，3）．

∴直线OF的表达式是y＝x，

①∵四边形A1B1C1D1是正方形，

∴A1D1＝A1B1，

把x＝1代入直线y＝x中，得y＝，

∴OB1＝OA1+A1B1＝1+＝，

∴C1的坐标是 （，），

故答案为：（，）；

②∵四边形A2B2C2D2是正方形，

∴A2D2＝A2B2，

把x＝2代入直线y＝x中，得y＝，

∴OB2＝OA2+A2B2＝2+＝，

∴C2的坐标是 （，），

故答案为：（，）；

③设过C1，C2两点的一次函数表达式是y＝kx+b（k≠0）．

代入C1，C2两点得，

解得，

∴直线C1C2的表达式为y＝x，

设过E（6，0），F（4，3）两点的一次函数表达式是y＝k'x+b'（k'≠0）．

代入E，F两点得

解得，

所以直线EF的表达式为y＝﹣x+9

直线EF：y＝﹣x+9与直线C1C2：y＝x的交点坐标为C．

联立直线EF和直线C1C2解析式成方程组并求解得：x＝，y＝2．

∴C点坐标为（，2）．

把y＝2代入y＝x，解得x＝，

∴D点坐标为（，2）

所画四边形ABCD如图3所示，