Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，以HF为直径的⊙O与AB、BC、CD、DA相切，切点分别是E、F、G、H，其中H为AD的中点，F为BC的中点，连结HG、GF．

(1)若HG和GF的长是关于x的方程x²－6x＋k＝0的两个实数根，求⊙O的直径HF(用含k的代数式表示)，并求出k的取值范围．

(2)如图，连结EG、DF，EG与HF交于点M，与DF交于点N，求的值．

Answer 1

答案：
解析：

①∵HF是⊙O的直径，∴△HGF是Rt△ 　　∴HF2＝HG2＋GF2＝(HG＋GF)2－2HG×GF 　　由根与系数的关系：HG＋GF＝6；HG×GF＝k 　　∴HF2＝62－2k 　　∵HF＞0，∴HF＝ 　　∵方程x2－6x＋k＝0有两根 　　∴△＝62－4k≥0 　　又k＝HG×GF≥0，且36－2k≥0 　　∴0≤k≤9 　　②∵F是BC的中点，H是AD的中点 　　由切线长定理得AE＝AH＝HD＝DG　　EB＝BF＝FC＝CG 　　∴AE∶EB＝DG∶GC 　　∴AD∥EG∥BC 　　∵AD⊥HF 　　∴GE⊥HF 　　设DG＝DH＝a，CG＝CF＝b 　　∴AD∥EG∥BC 　　∴NG∶FC＝DG∶DC；即MN∶b＝a∶(a＋b) 　　MN∶HD＝NF∶DF＝CG∶DC；即MN∶a＝b∶(a＋b) 　　∴NG＝MN 　　∴GN∶NE＝1∶3