Question

4．如图，A（m，0），B（0，n），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）在y轴右侧的平面内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC=90°、AB=BC，通过角的计算即可得出∠ABO=∠BCD，再结合∠CDB=∠BOA=90°即可利用AAS证出△ABO和△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标；
（2）△PAB与△ABC全等分两种情况：①当∠ABP=90°时，根据∠ABC=∠ABP=90°、△ABC≌△ABP，即可得出点C、P关于点B对称，结合点B、C的坐标即可得出点P的坐标；②当∠BAP=90°时，由∠ABC=∠BAP=90°即可得出BC∥AP，根据△ABC≌△BAP即可得出BC=AP，进而可找出四边形APBC为平行四边形，结合点A、B、C的坐标即可找出点P的坐标．综上即可得出结论．

解答 解：（1）过点C作CD⊥y轴于点D，如图1所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°，AB=BC．
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB=∠BOA=90°．
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ABO=∠BCD．
在△ABO和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠BCD}\\{∠BOA=∠CDB=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD=AO，CD=BO，
∵A（m，0），B（0，n），
∴BD=-m，CD=n，
∴点C的坐标为（-n，n-m）．
（2）△PAB与△ABC全等分两种情况：
①当∠ABP=90°时，如图2所示．
∵∠ABC=∠ABP=90°，△ABC≌△ABP，
∴点C、P关于点B对称，
∵C（-n，n-m），B（0，n），
∴点P的坐标为（n，n+m）；
②当∠BAP=90°时，如图3所示．
∵△ABC≌△BAP，
∴∠ABC=∠BAP=90°，BC=AP，
∴BC∥AP，
∴四边形APBC为平行四边形．
∵A（m，0）、B（0，n），C（-n，n-m），
∴点P的坐标为（m+n，m）．
综上所述：在y轴右侧的平面内存在一点P，使△PAB与△ABC全等，P点坐标为（n，n+m）或（m+n，m）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．