Question

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（10，0）、C（0，3），直线与BC相交于点D，抛物线y=ax²+bx经过A、D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AD，试判断△OAD的形状，并说明理由．
（3）若点P是抛物线的对称轴上的一个动点，对称轴与OD、x轴分别交于点M、N，问：是否存在点P，使得以点P、O、M为顶点的三角形与△OAD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得，点D的纵坐标为3，
∵点D在直线y=x上，
∴点D的坐标为（9，3），
将点D（9，3）、点A（10，0）代入抛物线可得：，
解得：，
故抛物线的解析式为：y=-x²+x．

（2）∵点D坐标为（9，3），点A坐标为（10，0），
∴OA=10，OD==3，AD==，
从而可得OA²=OD²+AD²，
故可判断△OAD是直角三角形．

（3）①由图形可得当点P和点N重合时能满足△OPM∽△ODA，

此时∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA，
故可得△OPM∽△ODA，OP=OA=5，
即可得此时点P的坐标为（5，0）．
②过点O作OD的垂线交对称轴于点P′，此时也可满足△P′OM∽△ODA，

由题意可得，点M的横坐标为5，代入直线方程可得点M的纵坐标为，
故可求得OM=，
∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°，
∴∠OP′M=∠DOA，
∴△P′OM∽△ODA，
故可得=，即=，
解得：MP′=，
又∵MN=点M的纵坐标=，
∴P′N=-=15，
即可得此时点P′的坐标为（5，-15）．
综上可得存在这样的点P，点P的坐标为（5，0）或（5，-15）．
分析：（1）根据题意可得出点D的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点D的横坐标，从而将点D和点A的坐标代入可得出抛物线的解析式．
（2）分别求出OA、OD、AD的长度，继而根据勾股定理的逆定理可判断出△OAD是直角三角形．
（3）①由图形可得当点P和点N重合时能满足△OPM∽△ODA，②过点O作OD的垂线交对称轴于点P′，此时也可满足△P′OM∽△ODA，利用相似的性质分别得出点P的坐标即可．
点评：此题考查了二次函数的综合题，解答本题的关键是结合直线解析式求出点D的坐标，得出抛物线的解析式，在第三问的解答中要分类讨论，不要漏解．